張明華（美國紐約州立大學傑出教授、中國科學院大氣物理研究所客座研究員）
人們在談論物理學家楊振寧先生的科學貢獻時，往往把目光聚焦於他在物理學上的卓越成就，而較少提及他對數學的重要影響。事實上，楊振寧的物理研究不僅改變了人類對自然規律的認識，也深刻推動了現代數學的發展。
筆者在楊振寧任職37年的美國紐約州立大學石溪分校（以下簡稱石溪大學）從事大氣動力學和數值模擬研究，與楊振寧有過工作往來。在此，筆者依據自己的所見所知，以及楊振寧在石溪大學留下的學術遺產，講述他在數學領域濃墨重彩的貢獻。
此外，筆者代理石溪大學教務長職務時，有幸接待瑞典皇家科學院院士、諾貝爾物理學獎評委會主席馬茨·拉爾松，與他就楊（振寧）-米爾斯理論為何未曾獲得諾貝爾獎這常被提及的問題作了深入交流。
楊振寧在石溪大學。
物理學6座豐碑對數學的影響
17世紀以來物理學的發展，有6座劃時代的理論豐碑。
牛頓第二定律構成了經典力學的核心，使自然界的運動規律得以用數學形式描述——物體運動的改變（加速度）由其所受外力與質量共同決定。這一定律至今仍是解釋和預測無數物理現象的基石，從自由落體、行星軌道到橋樑載荷、全球大氣環流，無不受其支配。該定律將「加速度」與「力」表述為三維空間中的矢量並把它們聯繫起來，在數學上直接促成了微積分這一重要基礎領域的誕生，並奠定了向量分析的基礎。
愛因斯坦的廣義相對論把時間與空間統一為時空。在這個四維時空中，質量、能量和動量決定時空的彎曲特徵，而彎曲的時空又反過來決定物質的運動。物理定律在其中遵循廣義協變原理，其數學形式不隨參照系的改變而變化。廣義相對論成功地以時空幾何取代了牛頓的萬有引力概念。該理論構成了人們理解宇宙膨脹、黑洞等現象的理論基石。它在當代科技中也發揮著關鍵作用，沒有它對牛頓力學的修正，深空航天飛行無法精確控制，全球衛星定位系統每天將累積高達十公里的誤差。此外，該理論對物理規律在四維彎曲空間中的描述，在數學上極大推動了黎曼幾何和張量分析的發展。
楊（振寧）-米爾斯理論奠定了現代粒子物理標準模型的基礎。它提出了一個統一的規範理論，用以描述電磁相互作用、弱相互作用和強相互作用及其與基本粒子運動的關係。電磁相互作用是化學鍵形成的根本原因，使原子得以結合為分子，也是我們所熟知電磁效應的起因；弱相互作用主宰元素的放射性衰變與核反應，是太陽釋放能量的源泉；而強相互作用則使質子與中子結合成原子核，其強大的作用力壓制了質子間的電磁排斥。楊-米爾斯理論指出，電磁、弱和強相互作用都源於定域規範對稱性。其中對稱性決定了規範場的存在形式，而規範場的曲率則直接決定了相互作用的強度。
該理論成功描述了作為相互作用載體的玻色子，奠定了研究包括電子、中微子和夸克在內的基本粒子及其相互作用的基石，並催生了多項重大實驗發現。對這些粒子的深入研究，又極大地推動了超導磁體、真空技術和高能探測器等現代技術的發展。楊-米爾斯理論用微分幾何的語言刻畫對稱性，並通過抽象內稟空間的幾何化投影把物質的運動與相互作用聯繫起來，在數學上深刻推動了微分流形、纖維叢與拓撲學的發展。
楊振寧因其在楊-米爾斯理論、宇稱不守恆定律以及物理學其他領域的重大貢獻，成為世界公認的20世紀最傑出的物理學家之一。據美國《紐約時報》引述，著名物理學家弗里曼·戴森曾稱，20世紀物理學中在理論表達上最為卓越的前3位物理學家是愛因斯坦（相對論）、迪拉克（量子理論）與楊振寧（粒子物理）。
麥克斯韋電磁方程組和薛定諤方程構成了經典物理與量子領域中的兩座豐碑。麥克斯韋方程統一了電與磁，描述了電場和磁場如何相互激發並以波的形式傳播，由此預言了電磁波的存在，並將光學與電磁學融為一體。這一理論直接提供了從無線電、雷達、Wi-Fi到核磁共振與隱形飛機設計等現代技術的理論基礎。薛定諤方程則精確刻畫了電子、原子和分子的量子行為、能量分布及其與物質輻射的關係。量子力學的成果已深度滲透至日常生活和現代技術——從半導體晶元、激光掃描、電視和手機屏幕的發光原理，到光刻機與新葯研製。這兩個里程碑在數學上極大拓展了偏微分方程與運算元理論的應用。
以玻爾茲曼熵公式為代表的另一座里程碑——統計力學理論，則揭示了能量、熵與概率之間的深層聯繫。它從原子與分子的微觀運動出發，把隨機的微觀行為與確定的宏觀規律聯繫起來。在這一框架下，熱力學第一與第二定律都成為微觀動力學在統計上的必然結果。這一理論成功解釋並預測了氣體、液體和固體的宏觀特性與相變行為，奠定了發動機、製冷技術、新材料和信息科學等領域的理論基礎。它也在數學上為概率論和遍歷性理論的應用開闢了廣闊空間。
在以上的討論中，筆者不以時間為序，而依據這些理論對數學的塑造和影響方式，來梳理6座物理學豐碑。前面3座——牛頓力學、廣義相對論、楊-米爾斯理論都是基於好奇心和洞察力推演而生，先有理論，再經試驗或觀測驗證；後3座——麥克斯韋方程、薛定諤方程、統計力學則源自大量實驗與觀測，後經理論升華而得。前3座由推演而生的理論，都深刻影響了數學的發展，催生了新的數學分支。
值得一提的是，美國克雷數學研究所提出的「千禧年七大數學難題」中包括流體力學中的納維-斯托克斯方程和粒子物理中的楊-米爾斯方程。若有人能夠解答其中的任何一道題，即可獲得100萬美元獎金。這也折射出物理學的里程碑與數學發展的密切關係，亦成為楊振寧在數學界留下的眾多印記之一。
為什麼沒有二次得諾貝爾獎
一個常被提及的疑惑是，既然楊-米爾斯理論在物理學中的地位如此顯赫，為何這一理論本身未曾獲得諾貝爾獎？
2019年11月，瑞典皇家科學院院士、諾貝爾物理學獎評委會主席馬茨·拉爾松訪問石溪大學。當時筆者代理學校教務長職務，負責全校學術事務，接待他的訪問時，我們談及了這個問題。
拉爾松提到，評審委員會長期面臨一個源自諾貝爾遺囑的界定問題——諾貝爾物理學獎旨在獎勵物理學領域「最重要的發現或發明」，從瑞典語翻譯成英文是「The
person who shall have made the most important discovery or
invention in the field of
physics」。對於像愛因斯坦的廣義相對論和楊-米爾斯理論這類「建立」性貢獻，儘管其影響深遠，但委員會內部對於是否將其納入「發現或發明」存有分歧。或許這也解釋了為何他們二人所獲的諾貝爾獎均非因其核心理論——愛因斯坦因發現光電效應獲獎，而楊振寧則與李政道一起因發現宇稱不守恆而獲獎。
雖然楊-米爾斯規範場理論未能得諾獎，然而在其理論基礎上通過實驗驗證作出貢獻的科學家們，卻相繼榮獲諾貝爾獎。事實上，與愛因斯坦的廣義相對論一樣，楊振寧的楊-米爾斯理論的重要性超越了他得諾獎的成果。
這也提醒我們，科學的真正價值不在於獎項，而在於它改變人類對世界的認識。
楊振寧與石溪大學數學系的淵源
石溪大學是楊振寧最重要的學術家園之一。他在這裡不僅創立和領導了理論物理研究所，為物理系的研究奠定了堅實基礎，也深刻影響了數學系的學術方向和地位。
過去半個世紀以來，石溪大學數學系會集了一批頂尖數學家，包括菲爾茲獎得主約翰·米爾諾和西門·唐納森，以及多位阿貝爾獎、沃爾夫獎得主和美國科學院院士。許多人的研究，皆受惠於由楊-米爾斯理論所引領的現代幾何與拓撲學，可以說是學脈承續，皆蒙其澤。楊振寧的物理學理論在石溪大學數學系生根發芽，成為推動數學與物理交融的重要源泉。
譬如唐納森因其在四維流形上對楊-米爾斯聯絡的研究而獲菲爾茲獎，並由此開啟了數學領域的「唐納森理論」。傑出教授布萊恩·勞森與合作者揭示了楊-米爾斯場的穩定性與孤立現象，其在幾何領域的開創性貢獻獲得美國數學學會的勒羅伊·斯蒂爾獎。傑出教授陳秀雄及其合作者借鑒了楊-米爾斯型橢圓系統的思想，證明了凡諾型復代數流形在何種條件下都存在凱勒-愛因斯坦度量，並由此獲得美國數學學會的奧斯瓦爾德·維布倫幾何獎。
上世紀70年代，著名數學家陳省身攜青年學者丘成桐訪問石溪大學，在那裡與楊振寧相逢。丘成桐先生後來回憶，那次訪問使他第一次真切體會到物理與幾何之間的深刻聯繫，這一思想啟發了他此後在規範場、微分幾何域的研究。他最終成為首位獲得菲爾茲獎的華人數學家。
楊振寧在統計力學中的一項重要貢獻是楊-巴克斯特方程。它也對石溪大學數學系乃至整個現代數學產生了深遠影響，成為該校在可積系統、量子群、低維拓撲等研究方向的關鍵思想源泉。
值得一提的是，已有3位數學家因與楊-巴克斯特方程密切相關的工作而榮獲菲爾茲獎。其中之一是美國加州大學伯克利分校教授沃恩·瓊斯，他利用源於楊-巴克斯特方程的數學結構，構造出瓊斯多項式，該多項式是數學中的紐結不變數，可用於區分不同的紐結。第二位是美國普林斯頓高等研究院教授愛德華·威滕，他揭示了楊-巴克斯特方程與數學中的辮群操作、紐結及鏈環不變數的內在關係。另一位是曾在俄羅斯科學院斯捷克洛夫數學研究所工作的弗拉基米爾·德林費爾德，他創立了量子群理論，其核心結構中的R-矩陣正是楊-巴克斯特方程的解。
這裡還有一個題外軼事，這個斯捷克洛夫數學研究所還走出了一位傳奇數學家——格里戈里·佩雷爾曼。他曾是石溪大學數學系的訪問學者，成功解出了「千禧年七大數學難題」中迄今唯一被證明的難題——龐加萊猜想。為此，國際數學聯盟授予他菲爾茲獎，美國克雷數學研究所也向他頒發100萬美元獎金，但這些均被他拒絕了。
在證明龐加萊猜想的論文中，佩雷爾曼提到部分研究是依靠在石溪大學、柯朗數學研究所及加州大學伯克利分校訪問期間積攢的個人儲蓄完成的。他的3篇文章都留下了兩個聯繫郵箱：一個屬於斯捷克洛夫數學研究所，另一個屬於石溪大學數學系。然而獲獎之後，他切斷了與這兩個單位的聯繫，並徹底離開了數學界，遠離名譽和公眾視野。據知情人說，他在俄羅斯聖彼得堡過著極其低調、近乎隱居的生活，成為托爾斯泰式的人物，獲得精神上的純粹自由。
在與楊振寧有著深厚學術淵源的同事中，石溪大學前數學系主任、美國科學院院士詹姆斯·西蒙斯尤為值得一提。他的研究集中在與楊-米爾斯理論緊密關聯的拓撲學前沿。他證明了高維球面上楊-米爾斯場的穩定性與時空幾何特徵的內在關聯，該結論為理解量子理論中的隧道效應與非微擾效應提供了數學思路。他在1982年創辦了文藝復興科技公司，開創了用數學模型進行量化投資的先河，其卓越成就令國際金融界折服。譬如，深度求索（DeepSeek）創始人梁文鋒曾在文章中提到，西蒙斯的思想一直是他克服困難、堅持探索的動力。西蒙斯憑藉投資所得支持數學和物理研究。他在石溪大學建立的西蒙斯幾何和物理中心就是該校數學與物理交融的一個例子。
楊振寧（左）與西蒙斯。石溪大學供圖
在楊振寧的引薦下，西蒙斯支持中國科學界：他資助清華大學建立了陳賽蒙斯樓，推動該校的數學和理論物理研究；同時在北京大學北京國際數學研究中心設立了「西蒙斯博士後」獎，助力青年數學家的成長。據陳省身先生的學生回憶，陳先生晚年曾風趣地說：「希望自己能多活幾年，好向西蒙斯多要些錢——用來支持數學教育與研究。」
當然，楊振寧也得益於與數學系的合作。譬如西蒙斯就曾為他和物理系的同事講授過聯絡與曲率的幾何解釋、纖維叢與主叢和陳-韋爾理論等思想。楊振寧為此代表物理系贈送給西蒙斯一本英語詞典，笑稱他單詞拼寫不好，引得聽眾莞爾。
楊振寧與石溪大學數學系淵源的這些點滴，共同構成了一個側影，映照出其理論如何超越物理，如源頭活水般滋潤著現代數學的研究與人才傳承。
楊振寧的工作以數學的結構深化對物理的認識，又以物理的邏輯推動數學的發展。他所追求的「科學之美」，是邏輯與形式的和諧統一。這種對美的執著貫穿了他一生的研究與思考。
為表彰其對學術和教育的卓越貢獻，石溪大學在他退休之際，將理論物理研究所命名為楊振寧理論物理研究所，以紀念他為該研究所的發展所奠定的根基。在退休慶祝會上，談及感受時，他先引用了唐代詩人李商隱的「夕陽無限好，只是近黃昏」，隨即展示了自己更認同的朱自清詩句：「但得夕陽無限好，何須惆悵近黃昏。」
他引用的詩意與他的方程一樣，簡潔而深邃，既照亮人心，也照亮世界。
楊振寧先生的貢獻，既在學術，也在胸懷。正如香港中文大學中國文化研究所原所長陳方正所言：「物理學的巨大成就僅僅是楊先生的一半，另外一半是他的中國情懷。」筆者有幸與楊先生結識，深切感受到他那份根植於心的家國情懷，並見證他將此情懷化為篤實而真摯的踐履。其學與行，實堪我輩楷模，足為後世仰止。